Исследователями предпринимались попытки разработать более точные методы реконструкций сосудов. Еще в 1946 г. М.П. Грязновым была предложена техника графической реконструкции формы и размеров глиняной посуды по фрагментам [1]. Профиль сосуда вычерчивался посредством проецирования его тени на экран после правильной ориентировки в горизонтальной плоскости и измерения диаметра какой-либо части сосуда. Стремление реконструировать сосуды по фрагментам нашло отражение и в ранних работах А. А. Бобринского [2, с. 230]. Проблему восстановления керамических форм на материалах эпохи неолита и ранней бронзы Южной Сибири рассматривал А. В. Виноградов [3 ]. При этом исследователь исходил из наличия корреляции кривизны стенок сосудов в горизонтальной и вертикальной плоскостях. При подобной реконструкции требуется, чтобы сосуд был представлен большим числом обломков. Это не всегда возможно, поэтому доля реконструированных сосудов невелика [3, с. 133].

Применение ЭВМ и особенно персональных компьютеров позволяет в настоящее время привлечь к этой проблеме новые методы анализа, в частности статистико-математические. Заслуживает внимания в этом отношении работа английского археолога К.Р. Ортона, к сожалению, известная нам только по рецензии в польском археологическом журнале [4 ]. В предложенном в его статье проекте SHERD (Sorting Highgate Excavation's Roman Debris) на материалах гончарных печей I-II вв. в Хайгейте (Лондон) предпринимается попытка решить проблему реконструкции сосудов, сохранившихся во фрагментах, путем формализации данных и использования ЭВМ. Предварительно была осуществлена классификация соответственно венчиков и днищ, затем устанавливалась связь между диаметрами венчиков и диаметрами днищ определенных категорий. На основании этого стало возможным экстраполировать дугу утерянных стенок и построить полный профиль сосуда. В обстоятельной рецензии польского археолога П. Урбанчика этот проект получил высокую оценку в качестве первой попытки создания математической модели реконструкции сосудов [4, с. 204].

Объектом нашего исследования является круговая керамика Билярского городища (Татария, Алексеевский р-н). Состав массовой керамической посуды в Биляре, одном из столичных центров Волжской Болгарии Х-XIII вв. [5], весьма разнообразен. Об этом можно составить представление из классификации керамики, которая осуществлена одним из авторов [б]. Однако классификация производилась преимущественно на целых сосудах, огромное количество фрагментарного материала оказалось за ее рамками. Именно последнее обстоятельство побудило заняться разработкой метода, который позволил бы включить фрагменты в более активный научный оборот. И хотя по сохранившейся части фрагменты зачастую можно более или менее точно идентифицировать с определенной группой посуды, другие характеристики, особенно параметрические, в таких случаях получить практически невозможно.

принимала минимальное значение. Величина D_{k ост} носит название остаточной дисперсии и может служить мерой оценки погрешности прогноза неизвестного размера (S _ост = Ö`D_{k ост} - остаточное стандартное отклонение). Кроме того, остаточную дисперсию можно использовать для нахождения доверительного интервала восстанавливаемого размера [10, с. 184-192].

В случае m = 1 (один известный размер) вычисление коэффициента регрессии b_k и свободного члена a_k не вызывает особых затруднений и они вычисляются по формулам

b_k1 = S_k r/S_i ,    a_k = `x<sub>k</sub> - b<sub>ki</sub>`x_i ,

где `x<sub>k</sub> = (åx<sub>k</sub> )/n,`x_i =  (åx_i )/n, - выборочные средние; S²_k = (åx ²_k )/n, — `x<sup>2</sup><sub>k</sub> ;  S<sup>2</sup><sub>i</sub> = (åx <sup>2</sup><sub>i</sub> )/n, — `x²_i - выборочные дисперсии прогнозируемого и известного размера сосуда; r = (1/n å x_kx_i — `x<sub>k</sub>`x_i,)/ S_kSi - выборочный коэффициент корреляции. Все эти величины находятся по параметрам целых сосудов.

Если на сохранившемся фрагменте можно замерить несколько размеров (m > 1) и мы хотим использовать их все для восстановления остальных, то для нахождения соответствующих коэффициентов регрессии b_k и свободного члена a_k необходимо знание всех коэффициентов корреляции, которые образуют корреляционную матрицу. Далее необходимо решить систему линейных уравнений, формулы которых можно найти в соответствующих разделах многомерного регрессионного анализа (например, [10, с. 75-87]).

Как отмечалось выше, в нашем распоряжении имелись размеры 38 целых кувшинов Билярского городища, значения которых приведены в табл. 1.

Таблица 1. Данные замеров целых кувшинов Билярского городища, мм

Они практически представляют весь типологический ряд этой группы сосудов. По исходным данным на ЭВМ были вычислены статистические характеристики (табл. 2) и на их основе найдены коэффициенты регрессии b_k и свободные члены a_k (табл. 3).

Таблица 2. Выборочные средние значения, стандартные отклонения и коэффициенты корреляции между параметрами кувшинов

Из корреляционной матрицы видно, что между многими размерами сосуда существует тесная линейная связь и, следовательно, можно ожидать для них хорошего прогноза, исключение составляет лишь высота плечика (x₇). В табл. 3 приведены также значения абсолютных S_кост и относительных S_кост /`x<sub>k</sub>  погрешностей приближения. По их величинам можно ответить на вопрос, какие размеры мы предсказываем более или менее точно при данном известном размере, а какие с большей погрешностью. Так, при известном диаметре по венчику (х<sub>1</sub>) мы точнее всего можем предсказать диаметр основания горловины (х<sub>2</sub>), диаметр дна (х<sub>4</sub>), высоту горловины (х<sub>6</sub>) - погрешности прогноза составляют 10,1; 13,1; 12,4% соответственно. Погрешность прогноза высоты плечика (х<sub>7</sub>) и высоты придонной части (х<sub>8</sub>) в этом случае почти в 2 раза больше (соответственно 25 и 22,1%). Таким образом, прогнозы имеют различные погрешности приближения. Если же мы хотим ответить на вопрос, по какому из восьми возможных замеряемых размеров точнее всего восстанавливаются все остальные, то в качестве первого приближения можно сравнить величины суммарной относительной погрешности S= å S<sub>kост</sub> /`x_k ,  которые приведены в табл. 3. Из нее видно, что лучше всего восстанавливаются (если использовать последний критерий) размеры кувшина по величине диаметра тулова (х₃)- Конечно, еще лучше прогнозировать размеры, исходя из общей высоты (х₅),- это уже целый сосуд и восстанавливать размеры в таком случае нет необходимости.

Таблица 3. Коэффициенты регрессии b_k, свободный член а_k, абсолютные S_kост, относительные S_kост /`x_k и суммарные S погрешности (%) в случае одного известного размера

В практических целях более интересно рассмотреть отдельные величины относительных погрешностей прогноза (S_kост /`x_k) того или иного размера. В целом из табл. 3 видно, что по каждому из принятых размеров лучше всего восстанавливаются диаметр дна (х₄) и диаметр тулова (х₃), далее идут общая высота (х₅), высота горловины (х₆). и диаметр по венчику (х₁). Замыкает этот ряд диаметр основания горловины (х₂), высота придонной части (х₈) и высота плечика (х₇). Последний показатель вообще своеобразен: он восстанавливается хуже всего по каждому из принятых исходных размеров и в то же время сам наименее пригоден для прогноза (этого, конечно, следовало ожидать уже исходя из корреляционной матрицы). Что касается диаметра тулова (х₃), то он лучше всего восстанавливается по размерам нижней части кувшина - диаметру дна (х₄) и высоте придонной части (х₈), хотя если известен последний размер, то, как правило, можно замерить и диаметр тулова. А вот значение диаметра тулова (х₃) дает неплохие возможности для восстановления диаметра дна (х₄), общей высоты и несколько хуже - высоты горловины (х₆).

Таблица 4. Коэффициенты регрессии b_k, свободный член а_k, абсолютные S_kост, относительные S_kост /`x_k и суммарные S погрешности в случае трех и пяти известных размеров, %

В свою очередь высота горловины менее надежно реконструирует все остальные размеры, но сама может быть лучше всего восстановлена по диаметру по венчику (х₁) , диаметру основания горловины (х₂).

Поскольку на практике некоторые фрагменты керамики позволяют замерить несколько из предложенных размеров, то нами была рассмотрена задача восстановления размеров по горловине (известны х₁, х₂, х₆), нижней части (известны х₃, х₄, х₈) и верхней половине (известны х₁-х₃, х₆, х₇) сосуда. Конечно, могут быть изучены и другие сочетания размеров, но здесь мы остановились лишь на наиболее часто встречаемых вариантах. Результаты расчетов коэффициентов регрессии b_k, свободных членов а_k, абсолютных S_kост и относительных S_kост /`x_k погрешностей приближения, а также суммы последних S приведены в табл. 4.

Сравнивая суммарную относительную погрешность прогноза по горловине и нижней части сосуда, видим, что недостающие размеры сосуда в целом лучше восстанавливаются по придонной части, чем по горловине, хотя разница в прогнозе и не столь велика. Если судить по конкретным значениям относительной погрешности S_kост /`x_k, то в первом случае лучше восстанавливается диаметр дна (х₄), диаметр тулова (х₃) и общая высота (х₅). При известных размерах нижней части хорошо восстанавливается общая высота (х₅) и несколько лучше других высота горловины (х₆). Наилучшие результаты дал прогноз по известным пяти размерам, в этом случае необходимо было реконструировать придонную часть. Как показывают расчеты, в последнем случае суммарная относительная погрешность S составляет наименьшую величину по сравнению с двумя первыми - 28,7%.

Интересно сопоставить прогноз размеров сосудов на основании одного и трех известных размеров. Например, если мы имели только размер диаметра по венчику (х₁), то, оказывается, прогноз по этому размеру не очень отличается от прогноза по трем размерам верхней части сосуда, хотя последний, естественно, точнее. Это можно объяснить большой зависимостью параметров горловины кувшина между собой (см. табл. 2). В табл. 5 приведены примеры реконструкций по известным трем и пяти размерам.

Таблица 5. Примеры прогнозирования неизвестных размеров x_k= a_k + b_k x_i и x_k= a_k + b_k1 x_i1 + b_k2 x_i2+ b_k3 x_i3  по одному известному x_i, по известным размерам горловины (x₁, x₂, x₃), нижней части (x₃,x₄, x₈) и верхней части (x₁-x₃, x₆, x₇)

Примечание. Выделены известные размеры, по которым осуществляется прогноз.

При разработке данной методики важное значение представляют вопросы о границах ее применения и возможностях использования полученных результатов. Для того чтобы в какой-то мере ответить на поставленные вопросы, а также проверить методику и программу расчета на ЭВМ, было проведено исследование группы кувшинов, дополненной сосудами, сохранившимися до уровня наибольшего расширения тулова. Она насчитывала 82 экземпляра. Процедура исследования осуществлялась поэтапно. Во-первых, анализируемая совокупность сосудов должна была отвечать требованиям однородности и соответствовать нормальному распределению. В противном случае, т. е. если распределение параметров отличалось бы от нормального, необходимо было бы провести группировку массива с целью получения однородных групп, а затем осуществить все процедуры соответственно внутри каждой группы. Имеющаяся в нашем распоряжении группа кувшинов отвечала предъявляемым требованиям. Основную массу в коллекции билярских кувшинов составляли сосуды с маловариабельными характеристиками, близкими к средним значениям по выборке.

Рис. 2. Графические реконструкции кувшинов по вычисленным параметрам: а - действительные размеры; восстановленные размеры: б - по горловине; в - по придонной части: г - по верхней части.

Может оказаться так, что при дальнейшем накоплении материала будет возможно разделить совокупность кувшинов на группы, которые резко различались бы между собой, а внутри были бы однородны по показателям. Во-вторых, для исследуемой группы рассчитывались все статистические характеристики, на основе которых выводились формулы прогноза неизвестных размеров. Изменение объема выборки влияет на статистические характеристики совокупности и, следовательно, на параметры формулы для прогноза неизвестных размеров. При однородной совокупности сосудов с увеличением объема выборки ошибка прогноза уменьшается.

На рис. 2 графически представлены результаты прогнозирования неизвестных размеров по нескольким известным: по горловине, нижней части и верхней половине. Сосуды, на которых проиллюстрированы результаты прогноза, различаются между собой своими характеристиками, и на каждом из них спрогнози-рованные размеры по-разному отличаются от исходных. Из представленных примеров видно, что в ряде случаев может происходить частичное искажение первоначального облика сосудов. С другой стороны, среди полученных результатов есть такие, что очень незначительно расходятся с исходными.

Анализ исходных и полученных параметров показал, что в каждом случай точность прогноза (рассматривалось совпадение абсолютных значений) зависит от того, насколько близко (или далеко) отстоят значения исходных размеров от выборочных средних. Безусловно, в процессе доработки методики следует учесть это обстоятельство с тем, чтобы исключить случаи резкого расхождения получаемых результатов с исходными. Повышение надежности и достоверности прогноза прямо связано с тем, насколько правомерно использовать результаты реконструкции для последующих исследований, в частности для классификации керамики. Анализ классификационных индексов, вычисленных по полученным результатам трех видов реконструкций, показал, что различия между ними незначительны, все они укладываются в интервалы значений индексов, характерных для тех или иных подгрупп кувшинов, которые были выделены в результате классификации и к которым относятся исследуемые кувшины. Однако проблема соответствия реконструкций возможностям классификационных принципов требует глубокого осмысления.

Аналогичные расчеты выполнены и для других групп круговой посуды Биляра (горшков, корчаг, кринок, кружек). Несмотря на то что результаты оказались положительными, для получения более надежных выводов необходимы дополнительные данные, так как не во всех этих группах число целых экземпляров достаточно велико.

Выше речь шла уже о том, что все выводы в настоящей работе справедливы только по отношению к исследуемой совокупности кувшинов Билярского городища. Интересно посмотреть, могут ли работать формулы прогноза, разработанные для билярских кувшинов, на других материалах. В табл. 6 приведены примеры реконструкций по двум кувшинам из Болыпетарханского и Танкеевского могильников раннебулгарского периода (Татария), одному кувшину из курганного могильника Урень II (Ульяновская обл.) также раннебулгарского времени и двум золотоордынским кувшинам из Большого Шихана (Самарская обл.)*. Из расчетов очевидно, что формальный перенос формул прогноза для реконструкции сосудов других памятников по меньшей мере некорректен, хотя в отдельных случаях и есть совпадения, которые, конечно, могут быть не случайны, так как сосуды взяты из родственного круга памятников.

Таблица 6. Примеры прогнозирования размеров кувшинов других памятников

Как нам представляется, разработка общих формул для групп однокультурных памятников (допустим, для кувшинов Волжской Болгарии домонгольского периода) возможна в том случае, если основные характеристики таких сосудов имеют общую основу и сходные закономерности морфологических изменений. Однако предварительно каждая выборка из отдельного памятника должна быть обязательно подвергнута самостоятельному статистическому анализу, и только на этом основании можно делать заключение о возможности разработки общей формулы. В связи с этим следует отметить, что предлагаемая методика в наибольшей степени может быть применима к керамическому материалу развитых гончарных производств, продукция которых изготавливалась, как правило, по унифицированным образцам (стандартам) внутри больших групп сосудов на протяжении определенного времени. Таким образом, с помощью этой методики станет возможным исследовать морфологические особенности изделий в значительно большем количестве и более обоснованно.

С точки зрения нового подхода к реконструкции керамики, видимо, надо строже относиться к полевой обработке так называемого массового материала: необходимо фиксировать не только венчики, стенки и донца, а более тщательно пытаться выявлять фрагменты разных частей одного сосуда, прежде всего исходя из условий залегания.

Предлагаемый метод по существу является частным случаем метода математического моделирования, цель которого - не заменить опыт специалиста, а дать в его распоряжение инструмент, позволяющий более глубоко вникнуть в суть исследованных явлений (объектов) [11, с. 182]. Переход методики археологического исследования на уровень моделирования требует уточнения основных методологических и методических понятий, более правильного и последовательного применения формализации на разных этапах исследования и, естественно, необходимость компьютерной грамотности среди археологов.

Литература

Примечания

* Благодарим авторов раскопок, любезно предоставивших материалы в наше распоряжение.